Goemetria fraktalna
W roku 1985 w Londynie w Muzeum Nauk Przyrodniczych zorganizowano wystawĂŞ, ktĂłrej tytuÂł brzmiaÂł: „Granice chaosu: obrazy zespolonych ukÂładĂłw dynamicznych”. EkspozycjĂŞ tÂą odwiedziÂło 140000 widzĂłw w 100 miastach. Liczba zwiedzajÂących pokazaÂła jak ogromne jest zainteresowanie obrazami fraktalnymi. Fraktale i mocno z nimi zwiÂązana teoria chaosu udowodniÂły jak potrafiÂą byĂŚ uÂżyteczne w ró¿nych dziedzinach nauki. Od medycyny, poprzez biologiĂŞ po nauki informatyczne.
W informatyce fraktalne metody kompresji obrazu sÂą jednymi z najlepszych algorytmĂłw zmniejszajÂących rozmiar pliku graficznego. Z ÂłatwoÂściÂą moÂżna to wyjaÂśniĂŚ, przypominajÂąc sobie, jakie jest stanowisko teorii fraktali w grafice. Nie jest to opis piksel po pikselu, lecz przepis na jego stworzenie. W zwiÂązku z rozkwitem grafiki fraktalnej uproszczona zostaÂła praca grafikĂłw komputerowych. Gdy potrzebujÂą oni obrazu stoku gĂłrskiego lub drzewa, zamiast przeszukiwaĂŚ setki zdjĂŞĂŚ, posÂługujÂą siĂŞ odpowiednimi modelami do generowania takich obrazĂłw. DziĂŞki nim mogÂą wytworzyĂŚ obiekt dokÂładnie taki jakiego potrzebujÂą. Krajobrazy fraktalne wykorzystano teÂż w filmie. Planeta Genesis w filmie „Star Trek II: The Wrath of Khan” oraz Endora i zarysy Gwiazdy ÂŚmierci z filmu „Gwiezdne wojny: PowrĂłt Jedi” to twory fraktalne.
Sztuka abstrakcji w wersji fraktalnej rozwinĂŞÂła siĂŞ dziĂŞki Peterowi Oppenheimerowi, ktĂłry przy pomocy komputera tworzyÂł dzieÂła sztuki. CaÂły ten kierunek zapoczÂątkowaÂł Richard Voss, tworzÂąc znakomite fraktalne faÂłszerstwa. Jhane Barnes wykorzystywaÂła wzory fraktalne do projektowania tkanin. MoÂżliwoÂści nowej geometrii sÂą nieograniczone tak jak nieograniczone sÂą umysÂły twĂłrcĂłw, ktĂłrzy jÂą tworzÂą. Mimo, iÂż jest stosunkowo mÂłodÂą dziedzinÂą na trwale juÂż odcisnĂŞÂła swoje piĂŞtno w wielu dziedzinach sztuki. DziĂŞki korzeniom w naturze oraz nauce zrzesza coraz wiĂŞcej zwolennikĂłw i cieszy siĂŞ ogromnÂą popularnoÂściÂą, co moÂżna stwierdziĂŚ po iloÂści stron zindeksowanych przez
www.google.com. Fraktale to nie tylko zabawa dla znudzonych matematykĂłw, majÂą one wymiar juÂż nie tylko „fraktalny” ale i uÂżytkowy. W rozdziale tym przedstawiony zostaÂł tylko maÂły procent moÂżliwoÂści jakie daje nam wspó³czesna nauka. PrzykÂłady te rozsiane po ró¿nych dziedzinach nauki i techniki, udowadniajÂą jak fraktale i ich geometria sÂą wszechstronne
Fraktale
PatrzÂąc na Âświat, nie widaĂŚ prostych ksztaÂłtĂłw, widoczne sÂą zró¿nicowane struktury czĂŞsto majÂące wiele cech fraktali. Gdy patrzy siĂŞ na obiekty materialne w pewnym momencie stwierdza siĂŞ, Âże majÂą one strukturĂŞ fraktalnÂą. Poprawne jest stwierdzenie B. Mandelbrota -Fraktalem jest wszystko. CzÂłowiek jednak z natury skÂłonny jest do uproszczeĂą. Zamiast skomplikowanych wzorĂłw, ktĂłrymi przyroda obdarowuje, widzi proste bryÂły geometryczne. Tak, wiĂŞc lina horyzontu to prosta, drzewa to walce, a szczyty gĂłrskie to stoÂżki. Tak na przyrodĂŞ patrzyÂł Euklides, ojciec geometrii. Klasyczna "…geometria nie potrafi opisaĂŚ ksztaÂłtu chmury, gĂłry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury nie majÂą ksztaÂłtu kuli, gĂłry nie majÂą ksztaÂłtu stoÂżka, linia brzegowa nie jest okrĂŞgiem, kora nie jest gÂładka, a bÂłyskawica nie biegnie po prostej" .
Formy te, niedajÂące siĂŞ opisaĂŚ klasycznÂą geometriÂą, starano siĂŞ opisaĂŚ za pomocÂą tworĂłw, ktĂłre sÂą jakby jej zaprzeczeniem. Twory te to FRAKTALE.
Drzewa Pitagorejskie
Bardzo ciekawe konstrukcje geometryczne by³y tworzone przez matematyków szukaj¹cych pierwiastków kwadratowych z liczb ca³kowitych. Jedna z nich pozwala na skonstruowanie dla dowolnej liczby ca³kowitej n. Powsta³a konstrukcja to tzw. spirala pierwiastków kwadratowych. Przedstawiaj¹c idee powstawania tej konstrukcji, nale¿y zacz¹Ì od trójk¹ta prostok¹tnego o przyprostok¹tnych równych 1. Przeciwprostok¹tna ma d³ugoœÌ , nastêpnie konstruujemy kolejny trójk¹t prostok¹tny tak, ¿e przyprostok¹tne maj¹ d³ugoœÌ 1 i przeciwprostok¹tna tego trójk¹ta ma d³ugoœÌ równ¹ pierwiastek z trzech.
Kolejnym fraktalem bĂŞdzie drzewo pitagorejskie. Proces powstawania ilustruje rysunek poniÂżej.
StosujÂąc powyÂższe zasady moÂżemy modyfikowaĂŚ sposĂłb powstawania fraktali tego typu, uÂżywajÂąc trĂłjkÂątĂłw rĂłwnoramiennych lub modyfikujÂąc w inny dowolny sposĂłb. PoniÂższy rysunek przedstawia efekty takich modyfikacji.
Na pierwszym z nich widaÌ coœ w rodzaju liœcia lub amonita, na drugim coœ na wzór liœÌia paproci. Mimo ró¿nego wygl¹du, powsta³y na tej samej zasadzie sprzê¿enia zwrotnego widocznego w procesie konstrukcji. Tego typu fraktale s¹ wykorzystywane jako narzêdzie badawcze w botanice. Na podobnych obserwacjach powsta³y L-systemy.
http://www.sp236gim61.neostrada.pl/publikacje/BBogucka6.htmhttp://fraktale.stach.org.pl/