Goemetria fraktalna
W roku 1985 w Londynie w Muzeum Nauk Przyrodniczych zorganizowano wystawê, której tytu³ brzmia³: „Granice chaosu: obrazy zespolonych uk³adów dynamicznych”. Ekspozycjê t± odwiedzi³o 140000 widzów w 100 miastach. Liczba zwiedzaj±cych pokaza³a jak ogromne jest zainteresowanie obrazami fraktalnymi. Fraktale i mocno z nimi zwi±zana teoria chaosu udowodni³y jak potrafi± byæ u¿yteczne w ró¿nych dziedzinach nauki. Od medycyny, poprzez biologiê po nauki informatyczne.
W informatyce fraktalne metody kompresji obrazu s± jednymi z najlepszych algorytmów zmniejszaj±cych rozmiar pliku graficznego. Z ³atwo¶ci± mo¿na to wyja¶niæ, przypominaj±c sobie, jakie jest stanowisko teorii fraktali w grafice. Nie jest to opis piksel po pikselu, lecz przepis na jego stworzenie. W zwi±zku z rozkwitem grafiki fraktalnej uproszczona zosta³a praca grafików komputerowych. Gdy potrzebuj± oni obrazu stoku górskiego lub drzewa, zamiast przeszukiwaæ setki zdjêæ, pos³uguj± siê odpowiednimi modelami do generowania takich obrazów. Dziêki nim mog± wytworzyæ obiekt dok³adnie taki jakiego potrzebuj±. Krajobrazy fraktalne wykorzystano te¿ w filmie. Planeta Genesis w filmie „Star Trek II: The Wrath of Khan” oraz Endora i zarysy Gwiazdy ¦mierci z filmu „Gwiezdne wojny: Powrót Jedi” to twory fraktalne.
Sztuka abstrakcji w wersji fraktalnej rozwinê³a siê dziêki Peterowi Oppenheimerowi, który przy pomocy komputera tworzy³ dzie³a sztuki. Ca³y ten kierunek zapocz±tkowa³ Richard Voss, tworz±c znakomite fraktalne fa³szerstwa. Jhane Barnes wykorzystywa³a wzory fraktalne do projektowania tkanin. Mo¿liwo¶ci nowej geometrii s± nieograniczone tak jak nieograniczone s± umys³y twórców, którzy j± tworz±. Mimo, i¿ jest stosunkowo m³od± dziedzin± na trwale ju¿ odcisnê³a swoje piêtno w wielu dziedzinach sztuki. Dziêki korzeniom w naturze oraz nauce zrzesza coraz wiêcej zwolenników i cieszy siê ogromn± popularno¶ci±, co mo¿na stwierdziæ po ilo¶ci stron zindeksowanych przez
www.google.com. Fraktale to nie tylko zabawa dla znudzonych matematyków, maj± one wymiar ju¿ nie tylko „fraktalny” ale i u¿ytkowy. W rozdziale tym przedstawiony zosta³ tylko ma³y procent mo¿liwo¶ci jakie daje nam wspó³czesna nauka. Przyk³ady te rozsiane po ró¿nych dziedzinach nauki i techniki, udowadniaj± jak fraktale i ich geometria s± wszechstronne
Fraktale
Patrz±c na ¶wiat, nie widaæ prostych kszta³tów, widoczne s± zró¿nicowane struktury czêsto maj±ce wiele cech fraktali. Gdy patrzy siê na obiekty materialne w pewnym momencie stwierdza siê, ¿e maj± one strukturê fraktaln±. Poprawne jest stwierdzenie B. Mandelbrota -Fraktalem jest wszystko. Cz³owiek jednak z natury sk³onny jest do uproszczeñ. Zamiast skomplikowanych wzorów, którymi przyroda obdarowuje, widzi proste bry³y geometryczne. Tak, wiêc lina horyzontu to prosta, drzewa to walce, a szczyty górskie to sto¿ki. Tak na przyrodê patrzy³ Euklides, ojciec geometrii. Klasyczna "…geometria nie potrafi opisaæ kszta³tu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury nie maj± kszta³tu kuli, góry nie maj± kszta³tu sto¿ka, linia brzegowa nie jest okrêgiem, kora nie jest g³adka, a b³yskawica nie biegnie po prostej" .
Formy te, niedaj±ce siê opisaæ klasyczn± geometri±, starano siê opisaæ za pomoc± tworów, które s± jakby jej zaprzeczeniem. Twory te to FRAKTALE.
Drzewa Pitagorejskie
Bardzo ciekawe konstrukcje geometryczne by³y tworzone przez matematyków szukaj±cych pierwiastków kwadratowych z liczb ca³kowitych. Jedna z nich pozwala na skonstruowanie dla dowolnej liczby ca³kowitej n. Powsta³a konstrukcja to tzw. spirala pierwiastków kwadratowych. Przedstawiaj±c idee powstawania tej konstrukcji, nale¿y zacz±æ od trójk±ta prostok±tnego o przyprostok±tnych równych 1. Przeciwprostok±tna ma d³ugo¶æ , nastêpnie konstruujemy kolejny trójk±t prostok±tny tak, ¿e przyprostok±tne maj± d³ugo¶æ 1 i przeciwprostok±tna tego trójk±ta ma d³ugo¶æ równ± pierwiastek z trzech.
Kolejnym fraktalem bêdzie drzewo pitagorejskie. Proces powstawania ilustruje rysunek poni¿ej.
Stosuj±c powy¿sze zasady mo¿emy modyfikowaæ sposób powstawania fraktali tego typu, u¿ywaj±c trójk±tów równoramiennych lub modyfikuj±c w inny dowolny sposób. Poni¿szy rysunek przedstawia efekty takich modyfikacji.
Na pierwszym z nich widaæ co¶ w rodzaju li¶cia lub amonita, na drugim co¶ na wzór li¶æia paproci. Mimo ró¿nego wygl±du, powsta³y na tej samej zasadzie sprzê¿enia zwrotnego widocznego w procesie konstrukcji. Tego typu fraktale s± wykorzystywane jako narzêdzie badawcze w botanice. Na podobnych obserwacjach powsta³y L-systemy.
http://www.sp236gim61.neostrada.pl/publikacje/BBogucka6.htmhttp://fraktale.stach.org.pl/
